Lo scopo del Corso è di fornire le principali tecniche di calcolo partendo dalla teoria dei numeri attraverso successioni e serie numeriche, funzioni di una o più variabili, calcolo differenziale, calcolo integrale ed equazioni differenziali ordinarie.

01. Cenni alla teoria degli insiemi:
01.01 Prerequisiti.
01.02 Numeri reali.
01.03 Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di un sottoinsieme dei reali.
01.04 Principio di buon ordinamento e dimostrazione per induzione.
01.05 Numeri complessi.

02. Nozioni di base delle funzioni reali di una variabile reale:
02.01 Funzioni reali, iniettive, suriettive, biunivoche.
02.02 Definizione di funzione limitata, composta, monotona, inversa, periodica, pari e dispari.
02.03 Funzioni elementari: funzione potenza, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche.

03. Successioni di numeri reali:
03.01 Definizione di successione. Limite di una successione e proprietà dell'operazione di limite.
03.02 Teoremi sulle successioni.
03.03 Successioni monotone e numero di Nepero.
03.04 Confronto, stime asintotiche, ordini di infinito.
03.06 Limiti fondamentali.

04. Funzioni reali di una variabile reale:
04.01 Limiti: definizione, proprietà e teoremi. Limite inferiore e limite superiore.
04.02 Continuità, classificazione dei punti di discontinuità.
04.03 Teoremi sulle funzioni continue.
04.04 Uniforme continuità.

05. Calcolo differenziale:
05.01 Derivata di una funzione.
05.02 Regole di calcolo delle derivate.
05.03 Teoremi sulle funzioni derivabili.
05.04 Studio del grafico di una funzione.
05.05 Formula di Taylor, serie di potenze e serie di Taylor.

06. Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
06.01 Integrazione secondo Riemann, proprietà dell'integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale.
06.02 Metodi per la ricerca di una primitiva.
06.03 Calcolo di integrali indefiniti e definiti.
06.04 Integrali generalizzati.

07. Serie numeriche:
07.01 Carattere di una serie, serie armonica, serie armonica generalizzata, serie geometrica.
07.02 Proprietà delle serie convergenti.
07.03 Serie a termini non negativi, criterio del confronto, criterio del rapporto, criterio della radice, criterio di confronto asintotico.
07.04 Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibniz, convergenza semplice ed assoluta.
07.05 Criterio di confronto con un integrale.

08. Equazioni differenziali:
08.01 Equazioni del primo ordine.
08.02 Equazioni lineari del secondo ordine.
08.03 Cenni ad equazioni lineari di ordine n a coefficienti costanti.

09. Serie trigonometriche e serie di Fourier:
09.01 Serie trigonometriche e serie di Fourier.
09.02 Proprietà di ortogonalità, significato dei coefficienti di Fourier.
09.03 Disuguaglianza di Bessel, uguaglianza di Parseval.
09.04 Teorema di Dirichlet.
09.05 Serie di Fourier di f(x) in [-p, p] ed in [t, t + 2p].
09.06 Serie di Fourier di f dispari o pari in [-p, p].
09.07 Forma esponenziale della serie di Fourier.

10. Trasformate di Fourier:
10.01 Trasformate di Fourier e trasformata inversa, proprietà di simmetria.
10.02 Esempi di trasformate di Fourier: funzione impulsiva, impulso di Dirac, funzioni esponenziali.
10.03 Proprietà: linearità, formula del ritardo, trasformata delle derivate.
10.04 Trasformata del prodotto di convoluzione e distribuzione delta di Dirac.
10.05 Uguaglianza di Parseval ed esempi.
10.06 Applicazioni.

11. Funzioni di più variabili:
11.01 Cenni di topologia in Rn e funzioni scalari su Rn.
11.02 Definizione di limite, criterio di Cauchy, proprietà dei limiti.
11.03 Continuità.
11.04 Derivabilità vettoriale, derivate parziali e gradiente.
11.05 Differenziabilità e formula di Taylor al primo ordine.
11.06 Regola di derivazione per funzioni scalari composte; curve e superfici di livello.
11.07 Derivate parziali di ordine superiore e teorema di Schwarz.
11.08 Formula di Taylor al secondo ordine e matrice Hessiana.
11.09 Punti stazionari, piano tangente al grafico della funzione.
11.10 Caratterizzazione dei punti stazionari con la matrice Hessiana.
11.11 Teorema di Weierstrass per funzioni scalari continue in un compatto di Rn.
11.12 Cenni alle funzioni vettoriali, limiti, differenziabilità, matrice Jacobiana.

Modalità didattiche

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Obblighi

Nessuno.

Testi di studio

Bramanti, Pagani, Salsa, "Matematica", Zanichelli, 2000.

Modalità di
accertamento

Prova scritta e prova orale.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.