Lo scopo del Corso è di fornire le principali tecniche di calcolo partendo dalla teoria dei numeri attraverso successioni e serie numeriche, funzioni di una o più variabili, calcolo differenziale, calcolo integrale ed equazioni differenziali ordinarie.

The aim of the course is to give the basis of calculus, starting from the numeric sets to infinite sequences and series, functions of one variable and of several variables, theory of differentiation and integration, ordinary differential equations.

01. Generalità su insiemi, relazioni e strutture:
01.01 Algebra degli insiemi.
01.02 Relazioni d'ordine e di equivalenza. Partizioni.
01.03 Funzioni: dominio e codominio, iniettività e biunivocità.
01.04 Strutture algebriche: operazioni binarie e loro proprietà.
01.05 Sistema algebrico dei naturali, degli interi e dei razionali.

02. Retta razionale e piano razionale:
02.01 Punti, traslazioni e vettori del piano cartesiano.
02.02 Algebra vettoriale del piano.
02.03 Rappresentazione cartesiana di rette, semirette e segmenti.

03. Funzioni razionali di una variabile:
03.01 Grafico di una funzione.
03.02 Proprietà analitiche di una funzione e proprietà del grafico.
03.03 Restrizioni di funzioni: successioni.
03.04 Algebra delle funzioni e composizione di funzioni.
03.05 Grafico di funzioni lineari.
03.06 Grafico di funzioni quadratiche.
03.07 Equazione x2=y e problema della funzione inversa.
03.08 Equazione di punto fisso e algoritmo di Newton per l'approssimazione di 21/2.
03.09 Successioni monotone, limitate di razionali e numeri irrazionali.
03.10 Sistema algebrico dei numeri reali.
03.11 Retta reale e piano reale.
03.12 Convergenza di successioni di numeri reali. Completezza.
03.13 Serie di numeri reali: somme e criteri di convergenza.
03.14 Rappresentazione in serie, decimale e binaria, dei reali.

04. Funzioni reali di una variabile:
04.01 Funzioni potenza xa e funzioni esponenziale ax.
04.02 Numero di Nepero e funzioni ex e ln(x).
04.03 Definizione geometrica delle funzioni circolari sin(x) e cos(x).
04.04 Rappresentazione delle trascendenti elementari in serie di potenze.
04.05 Algebra delle funzioni. Composizioni.
04.06 Funzioni definite a tratti.
04.07 Vettori del piano e numeri complessi. Algebra e forma polare.

05. Calcolo dei limiti e calcolo differenziale:
05.01 Funzioni infinitesime.
05.02 Approssimazione locale: limite in un punto, continuità e differenziabilità.
05.03 Formula di Taylor al primo ordine. Retta tangente al grafico.
05.04 Funzione derivata. Derivate di funzioni razionali e di trascendenti elementari.
05.05 Punti singolari. Discontinuità e punti angolosi del grafico.
05.06 Teorema di Rolle e teorema di Lagrange sugli accrescimenti finiti.
05.07 Teorema di Weierstrass sul massimo e ottimizzazione in un intervallo.
05.08 Derivata seconda e formula di Taylor al secondo ordine.
05.09 Classificazione dei punti stazionari regolari.

06. Integrazione definita e indefinita:
06.01 Il problema dell'area e il problema dell'inversione della derivazione.
06.02 Somme di Riemann e integrale definito.
06.03 Primitive e teorema di Leibniz-Newton. Teorema di Lagrange sul valor medio.
06.04 Proprietà dell'integrazione definita e indefinita.
06.05 Equazioni differenziali lineari del primo e secondo ordine.

07. Regioni del piano:
07.01 Cinematica e curve regolari del piano.
07.02 Curve semplici chiuse e aperte, e regioni del piano.
07.03 Punti interni, esterni e frontiera.
07.04 Poligoni e poligoni curvilinei: segmenti ellittici, parabolici e iperbolici.

08. Campi scalari e funzioni di due variabili:
08.01 Campi scalari e campi vettoriali piani. Algebra dei campi piani.
08.02 Isolinee e topografia di un campo scalare piano.
08.03 Campi infinitesimi e approssimazione locale: continuità e differenziabilità.
08.04 Formula di Taylor al primo ordine e gradiente: analisi locale in punti non stazionari.
08.05 Derivate direzionali e parziali: calcolo differenziale in due variabili.
08.06 Differenziabilità di campi vettoriali e differenziabilità seconda.
08.07 Matrice Hessiana e formula di Taylor al secondo ordine.
08.08 Analisi locale in punti stazionari regolari: punti ellittici e iperbolici.

09. Ottimizzazione:
09.01 Ottimizzazione con vincolo su una curva.
09.02 Ottimizzazione su una regione.
09.03 Ottimizzazione di funzioni quadratiche sul piano.
09.04 Ottimizzazione di rapporti di funzioni quadratiche omogenee.
09.05 Retta ai minimi quadrati per un sistema finito di punti.

10. Spazio tridimensionale:
10.01 Algebra e geometria dei punti e dei vettori dello spazio.
10.02 Equazioni di rette e piani dello spazio.
10.03 Grafico di una funzione di due variabili. Curve coordinate e curve di livello.
10.04 Superfici semplici chiuse e aperte, e regioni dello spazio.
10.05 Regioni proiettabili: cilindri e parallelepipedi curvilinei.

11. Integrali doppi:
11.01 Approssimazione di volumi di regioni tridimensionali proiettabili e somme di Riemann per funzioni di due variabili.
11.02 Volumi e integrali doppi.
11.03 Teorema di Fubini sugli integrali iterati semplici.
11.04 Proprietà degli integrali doppi.
11.05 Integrazione in coordinate polari.

12. Variabile complessa:
12.01 Algebra complessa e piano complesso. Teorema fondamentale dell'Algebra.
12.02 Formula di Eulero ed esponenziale complesso.

13. Integrali impropri:
13.01 Integrali impropri in una variabile e aree di regioni piane non limitate.
13.02 Integrali doppi impropri e volumi di regioni dello spazio non limitate.

English version:

01. Generalities on sets, relations and structures:
01.01 Algebra of sets.
01.02 Order and equivalence relations. Partitions.
01.03 Functions: domain and codomain, injectivity and bijectivity.
01.04 Algebraic structures: binary operations and their properties.
01.05 The algebraic system of natural, integer and rational numbers.

02. The rational line and plane:
02.01 Points, translations and vectors in the cartesian plane.
02.02 Vector algebra in the plane.
02.03 Cartesian representation of lines, half-lines and segments.

03. Rational functions in one variable:
03.01 Graph of a function.
03.02 Analytic properties of a function and properties of the graph.
03.03 Restrictions of functions: sequences. Induction principle.
03.04 Algebra of functions and composition of functions.
03.05 The graph of linear functions.
03.06 The graph of quadratic functions.
03.07 The y=x^2 equation and the problem of the inverse function.
03.08 The fixed point equation and the Newton algorithm for appoximating 2^(1/2).
03.09 Monotone bounded sequences of rational and irrational numbers.
03.10 The algebraic system of real numbers.
03.11 Real line and real plane.
03.12 Convergence of sequences of real numbers. Completeness.
03.13 Series of real numbers: sums and convergence criteria.
03.14 Representations of reals.

04. Real functions in one variable:
04.01 Power and exponential functions.
04.02 The Neper number.
04.03 Geometric definition of circular functions.
04.04 Representation of elementary transcendents in power series.
04.05 Algebra of functions. Compositions.
04.06 Piecewise defined functions.
04.07 Vectors in the plane and complex numbers. Algebra and polar form.

05. Limits and differential calculus:
05.01 Infinitesimal functions.
05.02 Local approximation: limit in a point, continuity, differentiability.
05.03 Taylor's formula at first order. Tangent line to the graph.
05.04 Derivative functions. Derivatives of rational functions and elementary   transcendentals.
05.05 Singular points. Discontinuity and angular point of a graph.
05.06 Rolle's and Lagrange's theorem on finite increases .
05.07 Weierstrass' theorem. On maximum and optimization in an interval.
05.08 Second derivative and Taylor's formula at second order.
05.09 Classification of regular stationary points.

06. Definite and indefinite integration:
06.01 The problem of area and the problem of inversion of derivation.
06.02 Riemann sums and definite integral.
06.03 Primitives and Leibniz-Newton's theorem. Lagrange's theorem on mean value.
06.04 Properties of definite and indefinite integration.
06.05 Linear differential equations of first and second order. 

07. Regions of the plane:
07.01 Kinematics and regular curves in the plane.
07.02 Cloded and open simple curves and regions of the plane.
07.03 Internal, external and boundary points.
07.04 Polygons and curvilinear polygons: elliptic, parabolic and hyperbolic segments.

08. Scalar fields and functions in two variables:
08.01 Scalar fields and plane vector fields. Algebra of plane fields.
08.02 Contour lines and topography of a plane scalar field.
08.03 Infinitesimal fields and local approximation: continuity and differentiability.
08.04 Taylor's forumla at first order and gradient: local analysis in non stationary points.
08.05 Directional and partial derivatives: differential calculus in two variables.
08.06 Differentiability of vector fields and second differentiability.
08.07 Hessian matrix and Taylor's formula at second order.
08.08 Local analysis in regular stationary points: elliptic and hyperbolic points.

09. Optimization:
09.01 Optimization with constrain on a curve.
09.02 Optimization on a region.
09.03 Optimization of quadratic functions on the plane.
09.04 Optimization of ratios of homogeneous quadratic functions.
09.05 Least squares line for a finite system of points.

10. Three-dimensional space:
10.01 Algebra and geometry of points and vectors in space.
10.02 Equations of lines and planes in space.
10.03 Graph of a function in two variables. Coordinate curves and level curves.
10.04 Closed and open simple surfaces and regions in space.
10.05 Projectable regions: curvilinear cylinders and parallelepipeds.

11. Double integrals:
11.01 Approximation of volumes of projectable three-dimensional regions and Riemann sums for functions in two variables.
11.02 Volumes and double integrals.
11.03 Fubini's theorem on simple iterated integrals.
11.04 Properties of double integrals.
11.05 Integration in polar coordinates.

12. Complex variables:
12.01 Complex variables and complex plane. Fundamental theorem of Algebra.
12.02 Euler formula and complex exponential.

13. Improper integrals:
13.01 Improper integrals in one variable and areas of unbounded plane regions.
13.02 Improper double integrals and volmes of unbounded regions of space.

Matematica discreta.

English version: Discrete Strucuture and Linear Algebra.

Modalità didattiche

Lezioni frontali ed esercitazioni.

English version: Theory lectures and exercises, both face-to face and on-line.

Obblighi

Nessuno.

English version: none

Testi di studio

Lupini, "Matematica" parte 1 e parte 2, Quattroventi, 2005.

Bramanti, Pagani, Salsa, "Matematica", Zanichelli, 2000.

Thomas, Finney, "Calculus and Analytic Geometry", Addison Wesley Publishing Company, 1998.

Modalità di
accertamento

Prova scritta e prova orale.

English version: written and oral exam.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

Il corso è erogato sia nel "percorso in presenza" che nel "percorso online" del Corso di Laurea di Informatica Applicata.

English version: The course is offered both face-to-face and on-line within the Laurea Degree Program in Applied Computer Science.